Из семьи врача, брат математика С. Н. Бернштейна. Под руководством отца получил начальное домашнее образование. Окончил 3-ю Одесскую гимназию и Московский университет (1893). Одновременно с учёбой работал в лаборатории клиники нервных болезней, где под руководством Л. О. Даркшевича изучал микроскопическую анатомию ЦНС. По окончании университета был командирован за границу для ознакомления с работой различных психиатрических учреждений.
Работал в Психиатрической клинике Московского университета (1893—1902), в клинике Э. Крепелина (1895). Наряду с врачебной работой интенсивно изучал философию и психологию. Защитил докторскую диссертацию (1901), посвящённую проблемам значения мышечного валика; в 1902 командирован за границу для подготовки к чтению курса по физиологической психологии. По возвращении в Москву начал чтение курса физиологической психологии.
С 1899 заведовал Московским Центральным полицейским приемным покоем. Организовал биохимическую, патологоанатомическую и психологическую лаборатории, в которых велась интенсивная научная работа. Добился включения Центрального полицейского приёмного покоя в число учебно-вспомогательных структур Московского университета (1903).
Один из инициаторов организации временных Педагогических курсов при Московском педагогическом собрании (1903). Участвовал в организации и проведении Всероссийских съездов по педагогической психологии и экспериментальной педагогике (1906—1916). Организатор и член редколлегии журнала «Психотерапия. Обозрение вопросов психического лечения и прикладной психологии» (1910—1914), член Совета Психоневрологического музея (1919). Директор Государственного психоневрологического института (1920—1922).
Сын Бернштейна — Николай Александрович Бернштейн — советский физиолог.
Основные труды А. Н. Бернштейна и литературу о нем см. в Научной педагогической электронной библиотеке.